|
Abstract
|
در این پایان نامه مسأله مقدار مرزی \begin{equation}\label{main}
D_0^\alpha u(t)-\lambda u(t)=f(t,t^{1-\alpha}u(t)), \quad t\in(0,1], \quad \lim_{t\to 0^{+}}t^{1-\alpha}u(t)=u(1)
\end{equation} مورد بررسی قرار می دهیم، که در آن $\lambda\neq0$ ، $(\lambda\in\mathbb{R})$، $0<\alpha\leq 1$ و $f$ تابعی حقیقی است که در برخی شرایط مناسب صدق می کند. بدین منظور ابتدا مسأله متناوب
\begin{displaymath}
D_0^{\alpha}u(t)-\lambda u(t)=f(t,u(t)),\quad t\in(0,1], \quad \lim_{t\to 0^+}t^{1-\alpha}u(t)=u(1)
\end{displaymath}
را با $\lambda\neq0$، $(\lambda\in\mathbb{R})$، $0<\alpha<1$ و $f$ یک تابع پیوسته بررسی می کنیم. یک تابع گرین برای مسأله نظیر
\begin{displaymath}
D_0^{\alpha}u(t)-\lambda u(t)=f(t),\quad t\in(0,1], \quad \lim_{t\to 0^+}t^{1-\alpha}u(t)=u(1)
\end{displaymath}
به دست می آوریم. سپس وجود حداقل یک جواب این مسأله را تحت شروط زیر ثابت می کنیم.
\begin{itemize}
\item[(i)] $f$ به طور یکنواخت کراندار است. یعنی ثابت $M>0$ چنان وجود دارد که برای $t\in[0,1]$ و $u\in\mathbb{R}$، $|f(t,u)|\leq M$
\item[(ii)]
$f$ در شرط لیپ شیتز غیرموضعی صدق می کند. یعنی عدد ثابتی مانند $k$ چنان وجود دارد که برای هر $t\in[0,1]$ و $u,v\in\mathbb{R}$، $|f(t,u)-f(t,v)|\leq k|u-v|$
\end{itemize}
برهان توسط قضیه نقطه ثابت شافر ارائه خواهد شد. سپس با اعمال شرایط موضعی برای تابع $f$ با استفاده از تابع گرین به دست آمده برای مسأله فوق، وجود جواب مسأله \eqref{main} را ثابت می کنیم.
|