|
Abstract
|
در این پایان نامه حل معادلات دیفرانسیل جزئی با شرایط مرزی نیومن با تکنیک های عددی را بررسی می کنیم. بسیاری از قوانین و فرمول های علوم کاربردی و مهندسی و حتی در زیست شناسی یا اقتصاد را می توان بصورت معادلات دیفرانسیل فرموله کرد از این رو معادلات دیفرانسیل را می توان به عنوان یک ابزار قدرتمند برای مدلسازی بسیاری از پدیده ها در علوم کاربردی اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل به دو دسته معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) و معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) تقسیم می شوند؛درحل برخی مسائل ساده فیزیکی یا علوم مهندسی با معادلات دیفرانسیل معمولی برخورد می کنیم اما در بسیاری از پدیده های فیزیکی ناشی از علوم کاربردی مانند فیزیک، ریاضیات، ریاضیات زیستی، مهندسی و...برخی مسائل وجود دارند که در تجزیه و تحلیل آن ها به معادلات دیفرانسیل جزئی برخورد می کنیم که این مسائل به دو نوع مسائل مقداراولیه و مسائل مقدارمرزی دسته بندی می شوند.یکی از انواع شرایط مرزی، شرط مرزی نیومن است که یک مسأله مقدارمرزی حاوی مجهولات توابع چندمتغیره و مشتقات معمولی و جزئی آن توابع است.مسأله شرطی نیومن:یک مسأله مقدارمرزی است که در آن مشتق معمولی از متغیر وابسته در مرز ناحیه اتفاق می افتد. اگر u یک تابع مجهول تعریف شده در یک معادله دیفرانسیل جزئی در دامنه Ω و Ω زیرمجموعه ای از دامنه Ω و n بردار قائم یکه بر∂Ω باشد در این صورت شکل کلی شرط مرزی نیومن را می توان در زیرمجموعه ∂Ω به صورت زیر نوشت:∂ u(x,y) / ∂n=varphi(x,y) در اغلب موارد حل صریح مسائل با شرایط نیومن دشوار و زمان بر است و از دو نوع تکنیک برای حل این مسائل استفاده می شود:تکنیک های تحلیلی و تکنیک های عددی. تکنیک ارائه شده در اینجا از تکنیک ماتریس عملیاتی و نقاط همسوی استاندارد با استفاده از پایه های چندجمله ای لرچ و تکنیک آنالیزخطا براساس تابع باقی مانده برای تقریب جواب استفاده می کند.تابع مولد زیر چندجمله ای های لرچ را تعریف می کند:
(1-xlog(1+t))^( - lambda)=sum _k=0^∞ L_n (x, lambda)t ^n.که عبارت 1-xlog(1+t) برابر است با:
(K!/n!) s(n,k)x^Kاز طرفی می دانیم که ضرایب برای تابع مولد ((1)/(1-x))^lambda توسط عبارت زیر تعیین می شوند: (k+lambda -1,k) پس نمایش صریح چندجمله ای های لرچ به صورت زیر
|