|
چکیده
|
در این پایان نامه شرایط وجود سالیتون ها برای شار ریچی را بررسی می کنیم و به شار ریچی برای متریک ریمانی
g_t / t =-2 Ric(g_t)
می پردازیم. بنابراین زمانی که خمینه M^n فشرده است شار ریچی نرمال شده به صورت
g_t / t =-2 Ric (g_t)+2 r /n g
است.
هدف این است که نشان بدهیم در خمینه های سه بعدی، غیر از خمینه های با انحنای ثابت سه بعدی از جمله RP ^3 و S^3 روی هیچ خمینه ای سالیتون امکان پذیر نیست. شار ریچی برای اثبات دو قضیه بسیار مهم در توپولوژی با نام های هندسی سازی و حدس پوانکاره مورد استفاده قرار گرفته است. در این پایان نامه ویژگی های اساسی و روش های کاربردی که برای فهم شار ریچی استفاده می شود را معرفی می کنیم. برای مثال اثبات اصل ماکزیمم که برای بدست آوردن کران های مشتق های انحنا تحت شار ریچی استفاده می شود . ما از این نتایج برای اثبات قضیه ی اصلی شار ریچی یعنی قضیه همیلتون استفاده می کنیم.
در حالت دو بعدی همیلتون قضیه های زیر را اثبات کرده است :
قضیه (همیلتون) : فرض کنیم (M,g) یک رویه ریمانی جهت پذیر و فشرده باشد.
(1) اگر Mبا کره دو بعدی S^2 دیفئومورفیک نباشد، آنگاه هر متریک g به یک متریک با انحنای ثابت a تحت معادله زیر همگرا می شود. (2) . g(x,t)=(r - R(x,t))g(x,t), t>0 اگر M با کره S^2 دیفئومورفیک باشد، آنگاه هر متریک g با انحنای گاوسی مثبت در S^2 به یک متریک با انحنای ثابت تحت معادله بالا همگرا می شود. قضیه: اگر g یک متریک دلخواه روی S^2 باشد آنگاه تحت شار ریچی-همیلتون، انحنای گاوسی در زمان محدود، مثبت می شود.
از این دو قضیه نتیجه می گیریم اگر g یک متریک روی رویه ریمانی باشد، آنگاه تحت شار ریچی-همیلتون، g به یک متریک با انحنای ثابت همگرا می شود. تعریف( شار ریچی ): فرض کنید (M,g) یک خمینه ریمانی باشد و g_t ها گردایه ایی از متریک های ریمانی روی M چنان باشد که g_0=g و g_t / t = -2 Ric(g_t) . در این صورت g_t را یک شار ریچی روی خمینه M گوییم.
تعریف ریچی سالیتون ها : فرض کنید (M,g) یک خمینه ی ریمانی باشد. در این صورت، (M,g) را یک ریچی سالیتون گوییم هرگاه:
LX g+Ric(g)=lambda g که در آن LX مشتق لی نسبت به میدان برداری X و Ric تانسور انحنای ریچی و lambda یک عدد ثابت حقیقی است.
سالیتون در ریاضیات و فیزیک یک م
|